Biraz Matematik _ Gizemli Sayı Kaprekar Sabiti 6174 _ Hint Matematikçi Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905-1986)
Bugün
6174 sayısı KAPREKAR SABİTİ olarak bilen ve ilginç sayılardan biri olarak kabul edilen
Bunu bulan ve ismi ile anılan Hint matematikçi Kaprekar (1905-1986) ilgi bir derleme yaptım
Tarık Başçıl _ 07 Ekim 2018
Niye İlginç derseniz deneyebilirsiniz?
Önce en az 2 farklı rakamdan oluşan 4 basamaklı bir sayı yazın.
Sonra bu sayıyı rakamları büyükten küçüğe ve sonrada küçükten büyüğe sıralayın.
Başa sıfır gelebilir) ve birbirinden çıkartın.
Çıkan yeni sonuca da aynı işlemleri yaptığınızda
Çıkan yeni sonuca da aynı işlemleri yaptığınızda
En fazla 7 adımda
Hangi sayıyı seçerseniz seçin hep "6174 sayısına veya Sıfıra" ulaşacaksınız.
Örnek olarak 4759
Bu sayı değerlerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim:
9754 ve 4559 dur.
1. 9754 - 4579 = 5175
2. 7551 - 1557 = 5994
3. 9954 - 4599 = 5355
4. 5553 - 3555 = 1998
5. 9981 - 1899 = 8082
6. 8820 - 0288 = 8532
7. 8532 - 2358 = 6174
Örnek olarak 4564
Bu sayı değerlerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim:
6544 ve 4456
1. 6544 – 4456 = 2088
2. 8820 – 0288 = 8532
3. 8532 – 2358 = 6174
Kaprekar'ın rutininin 6174'e ulaşmadığı tek dört basamaklı sayılar
Örnek olarak 4759
Bu sayı değerlerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim:
9754 ve 4559 dur.
1. 9754 - 4579 = 5175
2. 7551 - 1557 = 5994
3. 9954 - 4599 = 5355
4. 5553 - 3555 = 1998
5. 9981 - 1899 = 8082
6. 8820 - 0288 = 8532
7. 8532 - 2358 = 6174
Örnek olarak 4564
Bu sayı değerlerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim:
6544 ve 4456
1. 6544 – 4456 = 2088
2. 8820 – 0288 = 8532
3. 8532 – 2358 = 6174
Kaprekar'ın rutininin 6174'e ulaşmadığı tek dört basamaklı sayılar
1111 , 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999 gibi
Tek bir iterasyondan sonra 0000 sonucunu veren reproditlerdir.
Diğer dört basamaklı sayılar
4'lük basamak sayısını tutmak için baştaki sıfırlar kullanılırsa, 6174'e ulaşır.
Örneğin 6 basamaklılar için 549945 sabit sayısına ulaşılıyor
ama 5 basamaklılar için birden fazla sabit mevcut.
Kaprekar;
Örneğin 6 basamaklılar için 549945 sabit sayısına ulaşılıyor
ama 5 basamaklılar için birden fazla sabit mevcut.
Kaprekar;
Sabiti değerlerini sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin normal bir matematik eğitimi yoktu.
Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi.
O sadece sayılarla oynamayı seven ama oldukça zeki bir kişi.
Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi.
O sadece sayılarla oynamayı seven ama oldukça zeki bir kişi.
O zamanlarda bu çalışmaları matematikçiler tarafından pek de dikkate alınmasa da ilerleyen yıllarda zamanında kazanamadığı itibarı elde etti.
Zaman içinde Kaprekar’ın fikirleri hem Hindistan’da hem de ülke dışında ilgi görmeye başladı.
1970’li yıllara gelindiğinde, Martin Gardner, popüler bilim dergisi Scientific American’da onun hakkında bir makale kaleme aldı.
Bugün Kaprekar ve yaptığı keşiflerin geçerliliği dünya genelinde tüm matematikçiler tarafından kabul ediliyor.
Biraz da daha tekniğe girilidiğinde
Herhangi bir dört basamaklı sayının basamaklarını azalan düzende sıralarsak maksimum sayıyı ve artan düzende sıralarsak minimum sayıyı elde ederiz.
Herhangi bir dört basamaklı sayının basamaklarını azalan düzende sıralarsak maksimum sayıyı ve artan düzende sıralarsak minimum sayıyı elde ederiz.
Sayılarımız birbirinden farklı a, b, c, d ise ve 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 biçiminde bir sıralama varsa, en büyük sayı abcd ve en küçük sayı ise dcba olacaktır.
Bunları birbirinden çıkartarak Kaprekar işleminin sonucunu hesaplayabiliriz.
abcd – dcba= ABCD olsun.
abcd – dcba= ABCD olsun.
Burada
D = 10 + d – a ( a > d); C = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b ( b > c – 1); B = b – 1 – c ( b > c) ve A = a – d
biçiminde olacaktır.
Bu denklem sisteminin çözümü sadece a=7, b=6, c=4 ve d=1 için geçerlidir.
Bu da bize 6174 sayısını vermektedir.
Benzer bir sonuca üç basamaklı sayılar ile de ulaşabiliriz.
Benzer bir sonuca üç basamaklı sayılar ile de ulaşabiliriz.
Örneğin üç basamaklı 753 sayısına bir göz atalım.
753 – 357 = 396; 963 – 369 = 594;
954 – 459 = 495; 954 – 459 = 495.
Gördüğünüz gibi bu sefer de 495 sayısında döngüye giriyoruz.
Merak ederseniz söyleyelim.
5 basamaklılar için birden fazla sabit mevcut.
6 basamaklılar için ise 549945 sayısında döngü başlıyor.
Ayrıca iki basamaklı sayılar ile de denemeler yaparsanız bir döngü olmadığını görebilirsiniz.
Kaprekar Sayısı
Aslında matematikte Kaprekar adı karşımıza bir kere daha çıkar.
Kaprekar Sayısı
Aslında matematikte Kaprekar adı karşımıza bir kere daha çıkar.
Şimdi 297 sayısının karesini alalım bu 88 209 olacaktır.
Bu sayıyı iki parçaya ayrılım, 88 ve 209 sayılarını oluşturalım.
Bu iki sayının toplamı 88 + 209 = 297 ilk sayımıza eşittir.
Bu özelliği gösteren sayılara da Kaprekar Sayısı denir.
Bu özelliği gösteren sayılara da Kaprekar Sayısı denir.
Örneğin 45 sayısını ele alalım:
45, 2 basamaklı bir sayı 452 = 2025 sağdan 2 basamak 25
Soldan 2 basamak 20.
Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi.
Diğer bir örnek 173442 = 300814336
Sağdan 5 basamak ve kalan 4 basamağın toplamı: 3008 + 14336 = 17344.
Gerçekten ilginç değil mi? Aşağıda daha fazla Kaprekar sayısını görebilirsiniz.
Kaprekar sayısı sadece kare alma işleminde karşımıza çıkmaz.
92 = 81…8 + 1 = 9
452 =2025…20 + 25 = 45
552 = 3025…30 + 25 = 55
7032 = 494209…494 + 209 =703
27282 = 7441984…744 + 1984 = 2728
48792 = 23804641…238 + 04641 = 4879
1428572 = 20408122449…20,408 + 122449 = 142857
Kaprekar sayısı sadece kare alma işleminde karşımıza çıkmaz.
Bazen sayıların küpünü alırken de benzer bir durum oluşur.
Bu sayıları da Kaprekar üçlüsü denir.
Örneğin 453 = 91125 = 9 + 11 + 25 = 45 yapar.
Diğer Kaprekar üçlüleri: 1, 8, 10, 297 ve 2322’dir.
Daha fazlasını bulmak eğlenceli bir aktivite olabilir.
Yorumlar
Yorum Gönder